Passage de car

Sur une plage de temps de 20 minutes, un car a 90% de chances de passer.
Quelle est la probabilité que le car passe sur une plage de 5 minutes ?

100 prisonniers et 100 urnes

Un roi qui avait 100 prisonniers décide de faire un jeu avec eux.
Il place dans une pièce 100 urnes, chacune contenant un papier avec le nom d'un des prisonniers.
Il propose alors le marché suivant aux prisonniers : chacun, l'un après l'autre, entrera dans la pièce. Il prendra le papier qui se trouve dans l'urne de son choix et regardera ce qu'il y est inscrit. Si c'est son nom, alors il pourra ressortir et le prisonnier suivant rentrera à son tour. Si ce n'est pas son nom, il pourra choisir une autre urne et recommencera le même processus. Si au bout de 50 urnes il n'a toujours pas trouvé son nom, tous les prisonniers seront exécutés. Si les 100 prisonniers réussissent à trouver leur nom, ils seront libérés.
Le roi laisse les prisonniers se concerter un instant pour qu'ils s'accordent sur une tactique.

Si chaque prisonnier choisit au hasard les 50 urnes dans lesquelles il va regarder, les 100 prisonniers n'ont qu'une infime chance de survivre (environ 1 chance sur 2^100).
Or, il existe une tactique qui leur permet d'obtenir plus de 30% de chances de s'en tirer.
L'auriez-vous trouvée à leur place ?

Indications :
- Les prisonniers, après s'être concertés au début, ne peuvent plus communiquer entre eux
- Ils ne peuvent laisser aucune trace de leur passage dans la pièce
- Ils remettent les papiers dans les urnes après les avoir tirés
- La pièce est toujours dans le même état avant et après le passage d'un prisonnier
- Chaque urne contient le nom d'un seul prisonnier et tous les prisonniers ont leur nom dans une urne
- Les urnes sont facilement identifiables, par exemple, elles sont toutes alignées. Ainsi, un prisonnier peut dire pendant la concertation "Je vais regarder dans l'urne n°3" et ses compagnons sauront de quelle urne il s'agit

Avant de penser à résoudre ce cas compliqué avec 100 prisonniers, essayez de trouver la tactique optimale quand on a par exemple 4 prisonniers et 4 urnes.

Quelle est alors leur chance de s'en sortir ?

La réponse à cette énigme est à venir très prochainement !

L'homme aux 2 enfants

J'ai un ami qui a 2 enfants, dont je ne connais pas le sexe.
L'autre jour, ma femme m'a dit qu'elle avait croisé mon ami avec l'un de ses enfants, qui est un garçon.

Quelle est la probabilité que son autre enfant soit une fille ?

Et non, la probabilité que l'autre enfant soit une fille n'est pas 1 chance sur 2, contrairement à ce que l'on pourrait penser, mais 2 chance sur 3.
Pour vous en convaincre, examinons les différentes familles de 2 enfants qui peuvent exister, en notant G pour une garçon, F pour une fille, et en écrivant l'enfant le plus agé en premier. Il y a donc 4 types de familles possibles, que nous supposerons équiprobables :
G - G, G - F, F - F et F - G.
Mon ami a au moins un garçon : sa famille se trouve donc parmi les types G - G, G - F ou F - G.
Parmi ces 3 types de famille, 2 contiennent une fille : il y a donc 2 chance sur 3 que mon ami ait une fille.

Voir aussi l'énigme des 3 cartes, qui est similaire.

J'ai considéré dans cette énigme que les probabilités d'avoir un garçon ou une fille étaient les mêmes, et j'ai négligé les cas ou l'on a des jumeaux. Je vous laisse juger de la pertinence de ces approximations.

La météo du jour

Ce matin, je me suis demandé quel temps il allait faire cet après-midi.
J'ai regardé la météo sur météo France, ils indiquaient qu'il allait pleuvoir.
Par curiosité, je suis allé voir les prédictions météo de Yahoo, lesquelles prévoyait qu'il allait faire beau.
Or, météo France se trompe 1 fois sur 5 et Yahoo météo 1 fois sur 4.

Ayant toutes ces informations en tête, quelle est la probabilité qu'il pleuve ?

La réponse à cette énigme est à venir très prochainement !

Le voyageur et les 2 trains

Un homme va à la gare tous les matins et prend un train pour se rendre à son travail. Il y a 2 trains différents A et B, qui peuvent l'emmener au même endroit. Quand il arrive à la gare, il prend donc le premier train qui part, que ce soit le train A ou le train B.

Les 2 trains partent toutes les heures, à un horaire fixe (par exemple le train A part à 7h30, 8h30, 9h30,etc... et le train B à 7h04, 8h04, 9h04,etc...). Le voyageur arrive quant à lui à la gare tous les jours entre 8h00 et 9h00, de manière aléatoire.

Au bout d'un certain temps, notre homme se rend compte avec étonnement que, bien qu'il ne choisisse pas le train qu'il prend, 3 fois sur 4 c'est avec le train A qu'il fait le trajet.

Comment cela se fait-il ?
Ou plus précisément, que peut-on dire sur les horaires des trains ?

Quelle est l'intervalle de temps qui sépare le train A du train B ?

On se rend compte de manière intuitive, après quelques réflexions, que le train B part peu de temps après le train A, ce qui fait que le voyageur à moins de chances d'arriver après le train A et avant le train B que l'inverse.

De manière plus formelle, on peut résoudre l'énigme de cette manière :

Notons Ha et Hb les horaires des train A et B entre 8h et 9h.
Par commodité, on ne prendra en compte que les minutes de ces horaires (par exemple si le train A part à 8h34, on notera Ha = 34).
Et notons aussi Pa et Pb les probabilités de prendre les trains A et B en arrivant entre 8h et 9h à la gare.

On a : Pa = 3 x Pb

Il y a 2 possibilités pour les horaires des trains : le train A part avant le train B (Ha < Hb) ou le train A part après le train B (Ha > Hb)

Si Ha < Hb
Alors le voyageur prendra le train A s'il arrive entre 8h et Ha ou s'il arrive entre Hb et 9h (auquel cas il prendra le train A suivant, qui part après 9h).
En revanche, il prendra le train B s'il arrive entre Ha et Hb à la gare.
On a donc avec nos notations :
Pa = (Ha + (60 - Hb)) / 60
Pb = (Hb - Ha) / 60

Comme 3 x Pb = Pa:
3 x (Hb - Ha) / 60 = (Ha + (60 - Hb)) / 60
3 x (Hb - Ha) = 60 - (Hb - Ha)
4 x (Hb - Ha) = 60
Hb - Ha = 15

Le train B part 15mn plus tard que le train A

Si Ha > Hb
Alors le voyageur prendra le train A s'il arrive entre Hb et Ha à la gare.
En revanche, il prendra le train B s'il arrive entre 8h et Hb ou s'il arrive entre Ha et 9h (auquel cas il prendra le train B suivant, qui part après 9h).
On a donc avec nos notations :
Pa = (Ha - Hb) / 60
Pb = (Hb + (60 - Ha)) / 60

Comme 3 x Pb = Pa:
3 x (Hb + (60 - Ha)) = Ha - Hb
4 x (Ha - Hb) = 180
Ha - Hb = 45

Le train A part 45 mn plus tard que le train B, ce qui revient à dire, puisque les trains partent toutes les heures, que le train B part 15mn après le train A.

En conclusion, on ne peut déduire de l'énoncé que les horaires relatifs des trains, à savoir que le train A part 1/4 d'heure plus tôt que le train B.

Les 3 cartes

Vous vous retrouvez dans la situation suivante :

On a placé dans un chapeau 3 cartes avec une couleur sur chacune des 2 faces des cartes.

La première d'entre elles est blanche des 2 côtés, la deuxième est noire sur ses 2 faces et la troisième possède un côté blanc et un côté noir.

Vous prenez au hasard une carte dans le chapeau et la posez devant vous sur la table. Vous voyez une face blanche.

Quelle est la probabilité que l'autre face soit noire ?

Notre intuition nous dicte qu'il y a 1 chance sur 2 pour que l'autre face soit noire, étant donné que la carte que l'on a tirée est soit la carte blanche des 2 côtés, soit la carte bicolore.
Mais ce n'est pas la réponse exacte !

On a tiré une carte avec une face blanche. Quelle face est-on en train d'observer lorsqu'on regarde la carte sur la table ?
Cela peut être une des 2 faces de la carte qui est toute blanche, ou bien la face blanche de la carte bicolore. Il peut donc s'agir de 3 faces différentes. On a donc 2 chances sur 3 d'avoir tiré la carte blanche, et 1 chance sur 3 d'avoir tiré la carte bicolore.

La probabilité que l'autre face soit noire est donc 1/3 !

L'argent dans les 3 boites

Dans cette énigme, vous avez la chance de participer à un jeu télévisé !

Trois boites se trouvent devant vous. Le présentateur du jeu vous explique que dans l'une de ces boites a été placé un billet de 500€. Vous devez choisir une de ces 3 boites.

Après avoir fait votre choix, vous vous emparez de la boite que vous avez désignée. Le présentateur vous demande un instant avant de l'ouvrir pour voir si vous avez gagné. Il vous annonce qu'il sait dans quelle boite se trouve l'argent et qu'il va vous "aider" un peu. Il s'empare d'une des 2 boites que vous avez laissées de côté et l'ouvre pour vous montrer qu'elle est vide.

Maintenant, le présentateur vous laisse le choix : vous pouvez garder la boite que vous avez choisie précédemment, ou alors vous pouvez l'échanger contre la boite restante.

Question : que devez-vous faire pour optimiser vos chances de gagner l'argent ?

Ce paradoxe est aussi appelé problème de Monty Hall, du nom du présentateur du jeu télévisé américain "Let's make a deal", dans lequel un candidat se retrouvait dans une situation similaire à celle que l'on vient de décrire.

La première idée qui vient à l'esprit est que, étant donné que vous avez le choix entre 2 boites "équivalentes", votre espérance de gain sera la même que vous changiez ou non de boite. Mais cette vision est fausse, les 2 boites ne sont pas équivalentes, et nous allons le montrer.

Après que vous avez choisi une des trois boites, et avant que le présentateur en ouvre une des 2 restantes, il y a 1 chance sur 3 pour que l'argent se trouve dans votre boite, et 2 chance sur 3 qu'il se trouve dans une des 2 autres boites.

Parmi ces 2 boites que vous n'avez pas choisies, on sait qu'il y en a au moins une qui est vide. Le présentateur aussi sait qu'il y en a au moins une de vide, et mieux, il sait laquelle est vide puisqu'il sait où se trouve l'argent. Le fait qu'il ouvre une des 2 boites ne change donc en rien la probabilité que l'argent se trouve dans la boite que vous avez choisi. En effet, que l'argent y soit ou non, le présentateur peut toujours ouvrir une des 2 boites qui reste pour montrer qu'elle est vide.

La probabilité que l'argent se trouve dans votre boite est donc toujours 1 chance sur 3. Vous avez par conséquent tout intérêt à changer de boite, vous aurez ainsi 2 chance sur 3 de gagner.

Une manière de se convaincre de ce résultat est d'imaginer le même jeu, mais avec 100 boites cette fois. Vous choisissez une des boites. Vous avez très peu de chance de tomber sur la bonne (1 sur 100). Parmi les boites qui restent, il y en au moins 98 de vides (voir 99 si vous avez choisi la bonne). Après que le présentateur a ouvert 98 boites vides, on se rend compte que vous auriez intérêt à changer de boite. A moins que vous pensiez que vous avez choisi la bonne boite parmi les 100, auquel cas vous êtes vraiment très confiant en votre bonne étoile !

Si vous voulez une étude plus approfondie de ce problème, vous pouvez vous rendre à cette adresse sur wikipedia (merci à CSA pour le lien).