L'argent dans les 3 boites

Dans cette énigme, vous avez la chance de participer à un jeu télévisé !

Trois boites se trouvent devant vous. Le présentateur du jeu vous explique que dans l'une de ces boites a été placé un billet de 500€. Vous devez choisir une de ces 3 boites.

Après avoir fait votre choix, vous vous emparez de la boite que vous avez désignée. Le présentateur vous demande un instant avant de l'ouvrir pour voir si vous avez gagné. Il vous annonce qu'il sait dans quelle boite se trouve l'argent et qu'il va vous "aider" un peu. Il s'empare d'une des 2 boites que vous avez laissées de côté et l'ouvre pour vous montrer qu'elle est vide.

Maintenant, le présentateur vous laisse le choix : vous pouvez garder la boite que vous avez choisie précédemment, ou alors vous pouvez l'échanger contre la boite restante.

Question : que devez-vous faire pour optimiser vos chances de gagner l'argent ?

Ce paradoxe est aussi appelé problème de Monty Hall, du nom du présentateur du jeu télévisé américain "Let's make a deal", dans lequel un candidat se retrouvait dans une situation similaire à celle que l'on vient de décrire.

La première idée qui vient à l'esprit est que, étant donné que vous avez le choix entre 2 boites "équivalentes", votre espérance de gain sera la même que vous changiez ou non de boite. Mais cette vision est fausse, les 2 boites ne sont pas équivalentes, et nous allons le montrer.

Après que vous avez choisi une des trois boites, et avant que le présentateur en ouvre une des 2 restantes, il y a 1 chance sur 3 pour que l'argent se trouve dans votre boite, et 2 chance sur 3 qu'il se trouve dans une des 2 autres boites.

Parmi ces 2 boites que vous n'avez pas choisies, on sait qu'il y en a au moins une qui est vide. Le présentateur aussi sait qu'il y en a au moins une de vide, et mieux, il sait laquelle est vide puisqu'il sait où se trouve l'argent. Le fait qu'il ouvre une des 2 boites ne change donc en rien la probabilité que l'argent se trouve dans la boite que vous avez choisi. En effet, que l'argent y soit ou non, le présentateur peut toujours ouvrir une des 2 boites qui reste pour montrer qu'elle est vide.

La probabilité que l'argent se trouve dans votre boite est donc toujours 1 chance sur 3. Vous avez par conséquent tout intérêt à changer de boite, vous aurez ainsi 2 chance sur 3 de gagner.

Une manière de se convaincre de ce résultat est d'imaginer le même jeu, mais avec 100 boites cette fois. Vous choisissez une des boites. Vous avez très peu de chance de tomber sur la bonne (1 sur 100). Parmi les boites qui restent, il y en au moins 98 de vides (voir 99 si vous avez choisi la bonne). Après que le présentateur a ouvert 98 boites vides, on se rend compte que vous auriez intérêt à changer de boite. A moins que vous pensiez que vous avez choisi la bonne boite parmi les 100, auquel cas vous êtes vraiment très confiant en votre bonne étoile !

Si vous voulez une étude plus approfondie de ce problème, vous pouvez vous rendre à cette adresse sur wikipedia (merci à CSA pour le lien).