Un homme va à la gare tous les matins et prend un train pour se rendre à son travail. Il y a 2 trains différents A et B, qui peuvent l'emmener au même endroit. Quand il arrive à la gare, il prend donc le premier train qui part, que ce soit le train A ou le train B.
Les 2 trains partent toutes les heures, à un horaire fixe (par exemple le train A part à 7h30, 8h30, 9h30,etc... et le train B à 7h04, 8h04, 9h04,etc...). Le voyageur arrive quant à lui à la gare tous les jours entre 8h00 et 9h00, de manière aléatoire.
Au bout d'un certain temps, notre homme se rend compte avec étonnement que, bien qu'il ne choisisse pas le train qu'il prend, 3 fois sur 4 c'est avec le train A qu'il fait le trajet.
Comment cela se fait-il ? Ou plus précisément, que peut-on dire sur les horaires des trains ?
Quelle est l'intervalle de temps qui sépare le train A du train B ?
On se rend compte de manière intuitive, après quelques réflexions, que le train B part peu de temps après le train A, ce qui fait que le voyageur à moins de chances d'arriver après le train A et avant le train B que l'inverse.
De manière plus formelle, on peut résoudre l'énigme de cette manière :
Notons Ha et Hb les horaires des train A et B entre 8h et 9h. Par commodité, on ne prendra en compte que les minutes de ces horaires (par exemple si le train A part à 8h34, on notera Ha = 34). Et notons aussi Pa et Pb les probabilités de prendre les trains A et B en arrivant entre 8h et 9h à la gare.
On a : Pa = 3 x Pb
Il y a 2 possibilités pour les horaires des trains : le train A part avant le train B (Ha < Hb) ou le train A part après le train B (Ha > Hb)
Si Ha < Hb Alors le voyageur prendra le train A s'il arrive entre 8h et Ha ou s'il arrive entre Hb et 9h (auquel cas il prendra le train A suivant, qui part après 9h). En revanche, il prendra le train B s'il arrive entre Ha et Hb à la gare. On a donc avec nos notations : Pa = (Ha + (60 - Hb)) / 60 Pb = (Hb - Ha) / 60
Comme 3 x Pb = Pa: 3 x (Hb - Ha) / 60 = (Ha + (60 - Hb)) / 60 3 x (Hb - Ha) = 60 - (Hb - Ha) 4 x (Hb - Ha) = 60 Hb - Ha = 15
Le train B part 15mn plus tard que le train A
Si Ha > Hb Alors le voyageur prendra le train A s'il arrive entre Hb et Ha à la gare. En revanche, il prendra le train B s'il arrive entre 8h et Hb ou s'il arrive entre Ha et 9h (auquel cas il prendra le train B suivant, qui part après 9h). On a donc avec nos notations : Pa = (Ha - Hb) / 60 Pb = (Hb + (60 - Ha)) / 60
Comme 3 x Pb = Pa: 3 x (Hb + (60 - Ha)) = Ha - Hb 4 x (Ha - Hb) = 180 Ha - Hb = 45
Le train A part 45 mn plus tard que le train B, ce qui revient à dire, puisque les trains partent toutes les heures, que le train B part 15mn après le train A.
En conclusion, on ne peut déduire de l'énoncé que les horaires relatifs des trains, à savoir que le train A part 1/4 d'heure plus tôt que le train B.
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